ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

 

Переменным током называют ток, изменение которого по величине и по направлению повторяется через равные промежутки времени, называемые переходами.

I_m – амплитудное значение;

i – мгновенное значение тока в любой момент времени.

Величина обратная переходу называется частотой [c^-1] или [Гц].

i = I_m·sinωt;

U = U_m·sinωt;

ω – угловая частота или скорость

ω = 2π·f = 2π/T [c^-1] или обороты в минуту

В генераторах переменного тока с одной парой полюсов за один оборот происходит один цикл изменения ЭДС или тока.

“f = n·p/60”

℮ = E_m·sinα = E_m·sinωt;

ωt = p·α;

p – число пар полюсов;

α – угол поворота ротора

 

Сдвиг фаз

 

Ψ₂ – Ψ₁ = φ;

℮₁ = E_1m·sin(ωt + Ψ₁);

℮₂ = E_2m·sin(ωt + Ψ₂);

℮₁ = E_1m·sin(ωt + 60º);

φ = Ψ₂ – Ψ₁;

℮₂ = E_2m·sin(ωt + 45º);

φ = Ψ₁ – Ψ₂

 

Графическое изображение синусоидальных величин

 

При сложении и вычитании синусоидальных величин удобно синусоиду представлять вращающимся вектором, тогда сложение синусоид можно заменить сложением векторов

E = √(E²_1m + E²_2m + 2E_1m·E_2m·cosφ);

tgφ = E_1m·sinΨ₁ + E_2m·sinΨ₂/E_1m·cosΨ₁ + E_2m·cosΨ₂

Если две синусоиды сдвинуты на угол 90º, суммарный вектор равен:

E = √E²_1m + E²_2m;

tgφ = E_2m/E_1m

Если две синусоиды совпадают по фазе:

E = E_1m + E_2m; tgφ = 0

 

Среднее значение тока, напряжения и ЭДС

 

I_CP = 0,637 I_m; U_CP = 0,637 U_m; E_CP = 0,637 E_m

 

Действительное значение тока, напряжения и ЭДС

 

Действительное значение переменного тока равно такому постоянному току, который протекая по цепи с тем же сопротивлением, выделяет такое же количество тепла как и постоянный ток за одинаковое время.

I = I_m/√2 = 0,707;

U = U_m/√2;

E = E_m/√2

 

Неразветвленные цепи переменного тока

 

Цепь с активным сопротивлением

U = U_m·sinωt;

i = U/R = U_m·sinωt/R;

I_m = U_m/R;

I = U/R – закон Ома для действительных значений

На активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.

 

Мощность цепи

P = U·i = U_m·sinωt·I_m·sinωt = U_m·I_m·sin²ωt = U_m·I_m/2 – (U_m·I_m/2)·cos2ωt = U·I - U·I·cos2ωt

 

Цепь с индуктивностью

L – считаем идеальной;

I = I_m·sinωt;

т.к. напряжение – переменное, магнитный поток вызван током – также переменным, поэтому в катушке возникает ЭДС самоиндукции - ℮_L;

℮_L = -L·di/dt = -L·d·(I_m·sinωt)/dt = -L·I_m·ω·cosωt = -L·ω·cosωt = -L·ω·I_m·sin(ωt – π/2);

U + ℮_L = 0;

U = L·ω·I_m·sin·(ωt + π/2) = U_m·sin·(ωt + π/2);

U_m = ω·L·I_m

x_L = ω·L – индуктивное сопротивление;

x_L = 2π·f·L = 2π·L/T

Ток опережает напряжение на угол 90º.

I_m = U_m/x_L – для амплитудного значения (закон Ома);

I = U/x_L; x_L [Ом]

 

Мощность цепи

P = U·i = U_m·sin·(ωt + π/2)·I_m·sinωt = U_m·I_m·sin2ωt/2 = U·I·sin2ωt

Катушка в некоторые интервалы времени забирает энергию от источника, t1 – t2 – возвращение к источнику потребленной энергии не происходит, такая мощность называется реактивной.

Q = U·I = I²·x_L = U²/x_L [ВАР]

 

Цепь с емкостью

U = U_m·sinωt;

q = c·U;

i = dq/dt = d·(c·U)/dt = c·U_m = d·sinωt/dt;

I_m = ω·c·U_m = ω·c·U_m·cosωt = I_m·sin·(ωt + π/2);

Ток опережает емкость на 90º.

x_C = 1/ω·c = 1/(2π·f·c) = I/(2π·c) - [Ом]

P = U·i = U_m·sinωt·I_m·sin·(ωt + π/2) = -U·I·sin2ωt

Емкость запасает энергию в электрическом поле. Емкость обменивается энергией с источником. Q = U·I = ω·c·U²; [ВАР]

 

Цепь с активным сопротивлением  и индуктивностью

U =U_a + U_L;

U_a = i·R;

U_L = -c_L = L·di/dt;

i = I_m·sinωt;

U_a = i·R = I_m·R·sinωt = U_m·sinωt;

U_L = d·(I_m·sinωt)/dt = I_m·L·ω·cosωt = U_Lm·sin·(ωt + π/2);

U = U_am·sinωt + U_Lm·sin·(ωt + π/2) = U_m·sin·(ωt + φ);

U_m = √(U²_am + U²_Lm);

U = √(U²_a + U²_L)

cosφ = U_a/U;

tgφ = U_L/U_a;

U = √((I·R)² + (I·x_L)²) = I·√(R² + x²_L) = I·z;

z = √(R² + x²) – полное сопротивление цепи

cosφ = R/z;

sinφ = x_L/z;

tgφ = x_L/R

 

Мощность цепи

P = U·i = U_m·sin·(ωt + φ)·I_m·sinωt = (U_m·I_m·cosφ)/2 – (U_m·I_m·cos·(ωt + φ))/2 = U·I·cosφ - U·I·cos·(ωt + φ)

cosφ – коэффициент мощности, чем больше “cosφ”, тем больше активная мощность

P = I²·R = u·I·cosφ [Вт];

Q = U_L·I = U·I·sinφ [ВАР];

S = U·I [ВА]

cosφ = P/S

 

Цепь с активным сопротивлением и емкостью

 

i = I_m·sinωt;

U_a = i·R = R·I_m·sinωt = U_am·sinωt;

U_C = L·x_C = x_C·I_m·sin·(ωt – π/2) = U_Cm·sin·(ωt – π/2);

U = U_a + U_C = U_m·sin·(ωt - φ);

U_m = √(U²_am + U²_Cm);

U = √(U²_a + U²_C) = I·√(R² + x²_C) = I·z;

z = √(R² + x²_C);

cosφ = U_a/U = R/z;

sinφ = U_C/U = x_C/z;

tgφ = U_C/U_a = x_C/R

 

Мощность цепи

P = U·i = U_m·sim·(ωt – φ)·I_m·sinωt = U·I·cosφ - U·I·cos·(2ωt – φ);

P = U·I·cosφ [Вт];

Q = U·I·sinφ [ВАР];

S = U·I = √(P² + Q²) [ВА]

Цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью

i = I_m·sinωt;

U_a = U_am·sinωt;

U_L = U_Lm·sin·(ωt + π/2);

U_C = U_Cm·sin·(ωt - π/2);

U_a = I·R;

U_L = I·x_L;

U_C = I·x_C

U = U_a + U_L + U_C = U_am·ωt + U_Lm·sin·(ωt + π/2) + U_Cm·sin·(ωt - π/2)

Напряжение на емкости и напряжение на индуктивности – противофазно.

U_P = U_L + U_C = U_Lm·sin·(ωt + π/2) + U_Cm·sin·(ωt - π/2) = |U_Lm – U_Cm|·sin(ωt ± π/2)

U = U_a + U_P = U_am·sinωt + U_Pm·sin(ωt ± π/2) = U_m·sin·(ωt ± φ)

U_m = √(U²_a + (U_L – U_C)²) = √(U²_a + U²_P);

U = I·√(R² + (x_L – x_C)²) = I·z;

z = √(R² + (x_L + x_C)²) = √(R² + x²)

 

x_L > x_C;

cosφ = R/z = U_a/U;

sinφ = U_a – U_c/U = x_L – x_C/z

 

x_L < x_C;

cosφ = R/z = U_a/U;

sinφ = U_a – U_C/U = x_L – x_C/z

 

x_L = x_C;

U = U_a;

Напряжение и ток совпадают по фазе, в цепи имеет место резонанс напряжений. Сопротивление “z” – минимальное и чисто активное.

z = √(R² + (x_L + x_C)²) = R;

U_ОБЩ – минимально.

“U_L” и “U_С” – могут быть выше чем “U_ОБЩ”.

 

Общий случай неразветвленной цепи

 

U_aΣ = I·RΣ;

U_P = I·(Σ_xL – Σ_xC);

U = √(U²_aΣ + U²_PΣ);

z = √(R²_Z + (Σ_xL – Σ_xC)²);

RΣ = R₁ + R₂ + … + R_n;

cosφ = RΣ/z

 

Резонанс в неразветвленной цепи или резонанс напряжений

 

x_L = x_C;

z = √(R² + (x_L – x_C)²) = R;

Сопротивление при резонансе минимальное и чисто активное.

I = U/z = U/R;

I – максимальное;

tgφ = x_L – x_C/R = 0 → φ = 0;

2π·f·L = 1/(2π·f·c);

4π²·f²·L·c = 1;

f_РЕЗ = 1/(2π·√(L·c))

 

Расчет разветвленных цепей методом проводимости

 

При этом методе ток в каждой ветви предполагается состоящим из двух составляющих: активной и реактивной, при этом активная составляющая тока должна совпадать по фазе с напряжением.

I_a = I_a1 + I_a2;

I_P = I_P1 + I_P2;

I_a1 = I₁·cosφ₁;

I₁ = U/z₁;

cosφ₁ = R₁/z₁;

I_a1 = (U/z₁)·(R₁/z₁) = U·R₁/z²₁;

g₁ = R₁/z²₁;

I_a1 = U·g₁;

g₁ – активная проводимость ветвей;

I_a2 = I₂·cosφ₂ = U·g₂;

g₂ = R²/z²₂;

I_a = cosφ = U·g;

g = g₁ + g₂;

I_P1 = I₁·sinφ₁ = U·x_L1/z²₁ = U·в₁;

sin·x_L1/z₁;
в₁ = x·L₁/z²₁;

I_P2 = I₂·sinφ₂ = U·в₂;

I_P = U·в; в = в₁ + в₂;

I₁ = √(I²_a1 + I²_P1);

g₁ = √(g²₁ + в²₁);

I₂ = √(I²_a2 + I²_P2);

g₂ = √(g²₂ + в²₂)

g = g₁ + g₂;

в = в₁ + в₂;

tgφ₁ = в₁/g₁;

sinφ₁ = в₁/g₁;

tgφ₂ = в₂/g₂;

sinφ₂ = в₂/g₂;

P = U·I·cosφ;

Q = U·I·sinφ;

S = U·I = √(P² + Q²)

 

Общий случай цепи с параллельными ветвями

 

z₁ = √(R²₁ + x²_L1);

z₂ = √(R²₂ + x²_C2);

z₃ = √(R²₃·(x_L3 – x_C3)²);

g₁ = R₁/z²₁; g₂ = R₂/z²₂;

g₃ = R₃/z²₃;

g = g₁ + g₂ + g₃ + … = Σg_n;

в₁ = x_L1/z²₁ >0;

в₂ = x_C2/z²₂ < 0;

в₃ = x_L3 – x_C3/z²₃

Реактивные проводимости надо складывать с учетом знака:

в = в₁ + в₂ + в₃ +… = Σв_n;

y = √(g² + в²);

tgφ = в/g;

sinφ = в/y;

cosφ = g/y;

P = P₁ + P₂ + P₃ = U²·g₁ + U²·g₂ + U²·g₃ = U²·g;

Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ = U²·в₁ + U²·в₂ + U²·в₃ = U²·в; S = U²·y

Катушка и емкость считаются идеальными. ”L” – только индуктивное сопротивление, активное сопротивление = 0; “С” – идеальная, “R” – бесконечно велико.

в_L = 1/x_L;

в_C = 1/x_C;

в_L = в_C;

в_L = 1/ω·L;

в_C = 1/1/(ω·c) = ω·c;

1/(2π·f·L) = 2π·f·c;

f_РЕЗ = 1/(2π·√(L·c));

g₁ = R₁/z²₁ = 0;

g₂ = R₂/z²₂ = 0;

в = в_L + в_С = в_L – в_С = 0;

g = √(g² + в²)

y = 1/z → z → ∞ → I = 0

 

Расчет синусоидальных цепей с применением комплексных чисел
(символическим методом)

 

Комплексным числом называется сумма вещественного числа и мнимого.

A = а + j·в

“а” – вещественное;

“в” – мнимое;

“j” – множитель;

j² = -1;

Умножение  действительного числа на “j” – означает поворот вектора на 90º.

“j·k =” поворот на угол “+ π/2”;

j·(j·k) = -k; A = √((A')² + (A'')²);

A = A' + j·A'' = A·cosφ + A·sinφ = A·(cosφ + j·sinφ);

cosφ + j·sinφ = ℮^jφ;

“φ” – аргумент в данном случае; “А” – длинна вектора

℮^j0º = cos0º + j·sin0º = 1

℮^jπ/2 = cosπ/2 + j·sinπ/2 = j

℮^-jπ/2 = cos(-π/2) + j·sin(-π/2) = -j

℮^jπ = cosπ + j·sinπ = -1

℮^-jπ = cos(-π) + j·sin(-π) = -1

A = A' + j·A';

B = B' + j·B';

Для сложения комплексных чисел необходимо отдельно сложить вещественные части (с учетом знака) и отдельно мнимые (с учетом знака)

cosφ = A'/A;

sinφ = A''/A;

tgφ = A''/A'

A˙ = A·cosφ + j·A·sinφ = A·℮^jφ = A·φ

Умножение и деление комплексных чисел

Bֹ = B' + j·B'' = B·℮^jφ2;

A˙/B˙ = (A·℮^jφ1)/(B·℮^jφ2) = (A/B)·℮^j(φ1–φ2);

A˙·B˙ = A·B·℮^jφ1·℮^jφ2 = A·B·℮^j(φ1+φ2)

A˙·B˙ = (A' + j·A'')·(B' + j·B'') = A'·B' + j·A'·B'' + j·A''·B' + j·B''·A'' = (A'·B' - B''·A'') + j·(A'·B'' + A''·B');

Если в знаменателе получилось комплексное число, надо от него избавиться помножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число.

Чаще всего длину вектора записывают не в максимальных значениях, а в действующих.

i = I_m·sin(ωt + φ₁)·I˙ = (I_m/√2)·℮^jφ1;

U = U_m·sin(ωt + φ₂)·U˙ = (U_m/√2)·℮^jφ2;

zַ = U˙/I˙ = (U_m/√2)·(√2/I_m)·℮^j(φ1-φ2);

zַ - комплексное сопротивление

I˙ =U˙/zַ;

x_L = j·ωt;

x_С = -j·(1/ωc);

R = R·℮^j0 = R

i = I_m·sinωt → I˙ = I_m·℮^j0;

U = U_m·sin(ωt + φ) → U˙ = U_m·℮^jφ;

I˙ = I·℮^j0;

U˙ = U·℮^jφ;

zַ = U˙/I˙ = (U·℮^jφ)/(I·℮^j0) = z·℮^j(φ-0) = (cosφ - j·sinφ);

zַ = R + j·x_L = z·℮^jφ;

zַ = (U·℮^-jφ)/(I·℮^j0) = z·℮^-j(φ-0) = z·℮^-jφ;

zַ = R - j·x_С = z·℮^-jφ = y·℮^-jφ = y·cosφ - j·sinφ = g – j·в; yַ = 1/zַ = (1/zַ)·℮^jφ

 

Мощность

S̃ = U˙·I˙* = O + j·Q

I˙* - сопряженный комплексный ток

 

Законы Кирхгофа

 

I˙₁ + I˙₅ + I˙₃ + I˙₆ = I˙₂ + I˙₄;

Σ·I˙ = 0

E˙ = I˙·(R + j·x_L - j·x_С);

Σ·E˙ = Σ·I˙·zַ

 

Расчет цепей с параллельным и последовательным соединением сопротивлений

 

zַ_ОБЩ = zַ₁ + zַ₂ + zַ₃;

U˙₁ = I˙·zַ₁;U˙₂ = I˙₂·zַ₂;

U˙₃ = I˙·zַ₃;

U˙ = U˙₁ + U˙₂ + U˙₃

1/zַ_ОБЩ = 1/zַ₁ + 1/zַ₂ + 1/zַ₃;

zַ_ОБЩ = (zַ₁·zַ₂)/(zַ₁ + zַ₂)

 

Трехфазная цепь

 

E˙_A = E_m·sinωt = E·℮^j0;

E˙_B = E_m·sin(ωt + 120) = E·℮^j120;

E˙_C = E_m·sin(ωt - 120) = E·℮^-j120

Соединение обмоток генератора звездой

 

U_A = φ_A – φ_X;

U_B = φ_B – φ_Y;

U_C = φ_C – φ_Z;

U_AB = φ_A –φ_X – φ_B + φ_Y = φ_A – φ_B;

U_BC = φ_B – φ_C;

U_CA = φ_C – φ_A

U˙_AB = U˙_A - U˙_B;

U˙_BC = U˙_B - U˙_C;

U˙_CA = U˙_C - U˙_A

U_Л = (√3)·U_Ф;

U˙_AB + U˙_BC + U˙_CA = 0

(1/2)·U_Л = U_Ф·cos30º;

U_Л = 2U_Ф·cos30º;

cos30º = (√3)/2

При соединении обмоток генератора звездой алгебраическая сумма векторов равна нулю.

U˙_AB = U·℮^j0 = U·cos0º + j·U·sin0º = U

U˙_BC = U·℮^j120 = U·cos120º + j·U·sin120º = -0,54 + j·U·(√3)/2

U˙_CA = U·℮^-j120 = U·cos(120º) - j·U·sin120º = -0,54 - j·U(√3)/2

U·(1 – 0,54 + j·(√3)/2 – 0,54 - j·(√3)/2) = 0

 

Соединение обмоток генератора треугольником

 

U_Л = U_Ф

Обмотки генератора соединенные треугольником образуют замкнутый контур, в котором действует сумма трех ЭДС. В любой момент времени сумма этих ЭДС = 0.

 

Соединение потребителей звездой

 

К сожалению по этой теме нет данных!

 

Соединение потребителей треугольником

 

U_Л = U_Ф;

I˙_AB, I˙_BC, I˙_CA – фазные;

I˙_A, I˙_B, I˙_C – линейные;

I˙_A = I˙_AB - I˙_CA;

I˙_B = I˙_BC - I˙_AB;

I˙_C = I˙_CA - I˙_BC

S̃_AB = U*_AB·I˙*_AB = P_AB + j·Q_AB

 

Мощность трехфазной цепи

 

P = P_A + P_B + P_C = U_A·i_A + U_B·i_B + U_C·i_C

При семеричной нагрузке фазный ток отстает от фазного напряжения на один и тот же угол.

P_A = U_m·sinωt·I_m·sin(ωt – φ) = U_Ф·I_Ф·cosφ - U_Ф·I_Ф·cos(2ωt – φ);

P_B = U_m·sin(ωt – 120º)·I_m·sin(ωt –120º – φ) = U_Ф·I_Ф·cosφ - U_Ф·I_Ф·cos(2ωt – 240 – φ);

P_C = U_m·sin(ωt + 120º)·I_m·sin(ωt +120º – φ) = U_Ф·I_Ф·cosφ - U_Ф·I_Ф·cos(2ωt + 240 – φ);

P = P_A + P_B + P_C = 3U_Ф ·I_Ф ·cosφ =3P_Ф

При симметричной нагрузке мгновенная мощность остается постоянной величиной и равна активной мощности.

При соединении нагрузки звездой:

I_Л = I_Ф = I;

U_Л = U_Ф·√3;

U_Ф = U_Л/(√3);

P = 3P_Ф = 3·U_Л·I/√3 = (√3)·U_Ф·I·cosφ

При соединении нагрузки треугольником:

U_Л = U_Ф = U;

I_Л = (√3)·I_Ф;

I_Ф = I_Л/(√3);

P = 3P_Ф = (3·I_Л·U_Ф/√3)·cosφ = (√3)·I_Л·U_Ф·cosφ

Реактивные мощности

Q = Q_A + Q_B + Q_C = I_A·U_A·sinφ + I_B·U_B·sinφ + I_C·U_C·sinφ;

Q = 3Q_Ф = (√3)·U_Ф·I·sinφ; cosφ = P/S;

sinφ = Q/S;

tgφ = Q/P

 

Измерение мощностей в несимметричных системах

 

При несимметричной системе мощность можно измерить двумя ваттметрами.

Мощность трехфазной системы определяется как сумма показаний ваттметров “W₁” и “W₂”.

Частный случай:

1.Нагрузка всех фаз активная и равномерная – угол “φ = 0”, поэтому показания ваттметров будут одинаковые.

2.Если нагрузка равномерная, а угол “φ = 60º”, то показания “W₂ = 0”, а мощность будет  равна “W₁”.

3.Если угол “φ” больше “60º”, то показания  “W₂” будут отрицательные, “W₂ > 0” и мощность будет равна разность показаний “(W₁ – W₂)”.

При равномерной нагрузке можно определить реактивную мощность с помощью двух ваттметров: “Q = (√3)·(W₁ – W₂)”.

 

Вращающееся магнитное поле трехфазной системы

 

Если на статоре двигателя расположить три одинаковые обмотки (A_X; B_Y; C_Z) сдвинутые в пространстве на 120º и подключить к выводам A,B,C трехфазную сеть:

i_A = I_m·sinωt;

i_B = I_m·sin(ωt - 120º);

i_C = I_m·sin(ωt +120º).

Каждый ток создает вокруг своей катушки переменный магнитный поток. Направление магнитного потока определяется по правилу “Буравчика”. Суммарное магнитной поле создаваемое тремя потоками будет вращаться со скоростью один оборот за период.

Для изменения направления вращения необходимо поменять местами любые две фазы.

вращающееся магнитное поле создает на роторе двигателя постоянный вращающийся момент.

 

Определение последовательности фаз

 

Различают прямую последовательность фаз, при которой максимальное значение тока (напряжения или ЭДС) поступает сначала в фазу “A”, затем в фазу ”В”, затем фазу ”С” и обратную последовательность, при которой максимальное значение тока поступает сначала в фазу “C”, затем в фазу ”В, затем в фазу ”А”.

 

Несинусоидальные токи

 

Если ток и напряжение отличаются от синусоиды, то они называются несинусоидальными.

Причины их появления:

1.В электрических машинных генераторах причиной является, несинусоидальное распределение магнитных индукций в магнитном зазоре, наличие реакции якоря и т.д.

2.В электромагнитных генераторах появление несинусоидальных тока и напряжения, объясняется нелинейностью “ВАХ” транзисторов, диодов и т.д.

3.В приемниках электрической энергии (потребителях) появление этих токов объясняется нелинейностью намагничивающих кривых (у трансформаторов) и нелинейностью “ВАХ” потребителей.

При изучении процессов в электрических цепях с нелинейными токами и напряжениями, можно пользоваться например теоремой Фурье.

По теореме Фурье любая непериодическая величина может быть представлена как сумма некоторой постоянной величины и нескольких синусоидальных (гармонических) величин с кратными частотами.

Синусоидальная составляющая, частота которой равна частоте несинусоидальной периодической величине, называется первой гармоникой, другие составляющие соответственно называются второй, третьей и т.д. гармониками.

℮ - несинусоидальные колебания, ее частота “f = 1/T”

℮₁ – первая гармоника, ее частота также “f”

℮₃ – третья гармоника, ее частота равна “3f”

Вторая гармоника отсутствует.